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海南省2008年普通高等学校招生全国统一考试数学科卷分析

发布时间:

海南省2008年普通高等学校招生 全国统一考试数学科卷分析
主讲人 李红庆

























试 题 点 评 与 答 卷 分 析

对 试 卷 的 几 点 商 榷

对 备 考 与 教 学 的 建 议

试卷总体评价
海南省2008年高考数学试卷,是海南省实施新课程改革 试验后的第二卷,也是海南省获得教育部批准自主考试的第 二卷,这份高考数学试题,以新的课程标准、全国考试大纲 和海南考试说明为依据,试卷的结构沿袭了2007年高考数学 试卷风格,紧密贴*中学教学,在坚持对基础知识和基本技 能的考查的同时,与去年相比,更加重视数学思想与方法的 考查。试卷从多角度、多视点、有层次地考查数学理性思维, 考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和潜能。 试卷对新课程中新增内容和传统内容有机结合考查更加科学、 规范和深化,体现新课程理念,有利于*醒Э纬谈 革,有利于高校选拔考生

(一)、试题及考试成绩统计表

表一:试卷结构分布表:
代数

几何

三角

其它

内 函 向 计 不 统概数复 立 解 解 图 变 算 不 极 *

容 数 量 数 等 计率列数 几 几 三 像 换 法 等 坐 几





式标



10 8 9 6 16 19 4, 2 12 11 3 1 7 5 24 23 22



21 13

17

15 14

18 20

分值 17 10 5 5 5 12 17 5 22 22 5 5 5 5

10

合计

76分,占50.67%(较去年增加5%)

44,29.3 15,10%(-5%)

15分,占10%

注:
1、选做题中选做*面几何的考生约为62.2%,选不等式 为14.3%,极坐标为25.5%;
2、函数减少一个小题(5分),用不等式题替换了逻辑题(5分), 用数列解答题替换三角解答题(12分),其他考点基本保持 2007年的格局。
3.新课程新增内容所占比重由去年的25%上升为29%

表二:考试成绩抽样统计表(2008年、2007年各题的均分、难度比较)

题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

题型、内容
三角函数图像 复数四则运算 解三角形 等比数列通项与前n项和 程序框图 解不等式 三角恒等变换 *面向量共线的充要条件 计数 定积分,面积 抛物线定义与性质 三视图与均值不等式 *面向量线性运算 双曲线定义与性质 球内接六棱柱体积 统计茎叶图

理(2008/2007)

均分

难度

表二:考试成绩抽样统计表(2008年、2007年各题的均分、难度比较)



填空

17

等差数列通项与前n项和/三角

18

立体几何(线线角、线面角)

19

概率统计

20

解析几何(直线、抛物线、椭圆位置关系)

21 文理22 文理23
理24 选做题 Ⅰ卷 Ⅱ卷
全卷

函数与导数、切线 *面几何 极坐标与与参数方程 不等式 22,23,24题加权*均 第1-12题,每题5分 4个填空题,每题5分; 必考解答题5个,选考解答题1个

5.91/9.37 7.05/7.04 1.41/4.63 2.23/1.13 1.59/1.64
0.67/2.97 3.90 2.93 4.49 3.74/3.69 33/35 22.6/30.6
55.6/65.6

0.29/0.47 0.59/0.59 0.12/0.39 0.19/0.09 0.13/0.14
0.06/0.25 0.39/ 0.29/ 0.45/ 0.37/0.37
0.55/0.58 0.25/0.34
0.37/0.44

注:
第二卷*均分与去年相比,下降了8 分,其中填空题下降3.46分,立体几何解 答题下降3.2分,函数解答题下降2.3分, 其他题略有上升或与去年持*。(第一 卷的*均分33是估计的数据)

表四:各题抽样统计数据 (均分、难度、区分度、标准差)

Ⅱ卷题 二 17 18 号
*均分 5.91 7.0 1.4 51
区分度 0.17 0.8 0.3 82

19 20 21 22 23 24 Ⅱ Ⅰ 卷卷

2.2 1.59. 0..6 3.9 2.9 4.4 22. 33

3

7 0396

0.5 0.34 0.19 0.4 0.7 0.9

3

325

全卷
55.4 4

标准差 5.10. 4.4 2.0 2.7 2.04 1.14 2.0 3.1 3.9

209

034

难度 满分

0.29 0.5 0.1 0.1 0.13 0.06 0.3 0.2 0.4 0.2 0.5 0.37

928

99555

5 5 5 5 12 12 12 12 12 90 60 150

试卷定性分析
纵观整份试卷,给人*和清新、富有创新意识 的感觉,体现了数学的基础性、应用性和工具性, 以重点知识主干线来挑选合理背景构建试题的主体, 更加关注新教材新增内容的考查(新教材内容所占 比重由25%上升为29%,)更加重视数学思想与方法 的考查,这份试卷具有以下特点:

1.试卷的结构充分体现了课改区的命题原则
本次试卷的结构充分体现了课改区的命题原 则:超量命题,限量答题。1~21题继承了传统命 题的风格,选作题设计3道,理科考生可从22~ 24题中任选一题作答。并且在分值分布上保持去 年所作的那些变化(填空题的分值从原来每小题 的4分上升为每小题5分,解答题17~21题每题均 为12分,“三选一”选做题10分)。

2.试题贴*课本,题型既有常规又有创新
选择题中的1~11题,填空题第13~15题都属于常规基础题。13 题考查空间向量线性运算与模,14题考查双曲线的定义与基本性 质的运用,15题考查球内接六棱柱的体积计算,解答题中19,20,21 及选做题,分别考查概率与统计,圆锥曲线与直线位置关系,函数与 导数、积分,*面几何,参数方程与坐标,含绝对值的不等式解 法,也属于常规题,题型与往年高考题类似,在高三综合复*阶段 此类题型屡见不鲜,有感似曾相识,但就其涉及的数学思想方法 和运算技巧而言,对于海南新课程考生还是难度不小。这份卷中, 有部分试题较深层次地体现了新课标思想,例如,第16题考查统 计茎叶图,题型设计为答案开放题;对传统内容的考查也适度创 新,例如,对立体几何知识的考查(第12、15、17题),与传统高 考卷作比较,更注重《标准》中强调的识图、作图能力和立体几 何中的模型思想、方程思想和整体思想,创新意识较浓。较充分 地体现课标理念,较好地发挥了试题对中学教学的导向作用. 试卷 围绕课程标准中内容主线、核心能力、改革理念命题,关注了必 修和选修的比例,力图达到*纬谈母锏哪康摹J跃矶匀油肌 算法框图、定积分以及统计概率等新增内容进行了较充分的考查。

3.试题突出知识的主干线,注重对新增内容的考查
从试卷的内容结构上看,三角(包括三角函数、解三角形和三 角恒变换)、立体几何、解析几何、导数、数列,始终是知识考查 的主线.《普通高中课程标准实验教科书》系列教材新增内容大都 是*代、现代数学的基础知识,这些知识成为支撑数学学科知识体 系的不可缺少的重要内容,在这份考卷中保持较高的比例,它与传 统的重要知识板块构成试题主体,审视这份高考卷可发现,以新增 教学内容——导数与积分、三视图与直观图、程序框图、统计与概 率、坐标系与参数方程,*面几何等作为考点或背景的试题所占比 重不小。例如第5题的程序框图、第10题的利用定积分求面积、 第 12题的三视图、第16题统计茎叶图,选考题中的第22题的*面几何、 第23题的坐标系与参数方程等均为课改区数学课程中新增加的内容, 新增内容累计分值43分,占了整份试卷分值比重的29%,比2007年 提高了3个百分点。命题重心如此迁移,反映了数学教育改革与高 考改革的发展方向,与高中新课程改革自然接轨,命题者此番匠心, 值得青睐

4.强化思想方法,融数学思想方法于“双基”试题之中,
深化能力立意导向
今年的高考试题,沿着*年高考命题改革的正确方向,强调由知识立意向 能力立意转化,强调基础与能力并重,知识与能力并举,悉心在知识交汇处设 计试题,有效地将数学思想蕴含于数学基础知识与基本技能之中,倡导通性通 法,全面综合考查。试卷中没有偏题、怪题。在选择题、填空题中考查了三角 函数图象、解三角形、三角函数的恒等变换与求值,*面向量的坐标运算、导 数的运算、复数的四则运算、等差、等比数列的通项与前n项和,算法和框图, 三视图和几何体的体积,统计茎叶图、排列组合等,这些内容的解决没有特殊 的技巧,主要是概念与简单推理运算。在解答题中,对数列、立体几何、概率 与统计、*面向量与解析几何、函数与导数以及选做题的*面几何证明、极坐 标与参数方程、不等式等内容的考查得比较全面,重视对常规思想方法的考查, 如第11题,以抛物线为素材,第24题(选考题)以不等式为素材,考查数形结 合思想,第12题三视图为背景考查构造图形的方法和能力,理科第21题是函数、 导数和定积分的综合问题,突出考查函数的思想和分类与整合的数学思 想。 试题还突出对新课程标准中新增的思想和方法的考查,如理科第5题以程 序框图为文本,考查算法的思想和读图的能力,立体几何突出考查考生读图、 构图、画图及其计算的能力等,第19题虽然考查概率分布,但实际上是对概率 统计思想以及数据处理能力的重点考查。

5.关注知识来源,体现数学应用,凸显时代背景
试卷创设的背景符合考生的生活实际,有一定的时代 气息。例如第16题,以棉花纤维长度为背景,考查统 计茎叶图,第19题,以投资项目利润问题为背景,考 查随机变量的概率分布与方差;第5题,考查算法的 基本思想、框图、程序语言,体现出时代的特色。这 些试题充分展示了数学应用的广泛性,体现出现代与 传统、数学与文化的交融,对推动数学教学改革起到 良好的导向作用。

试题点评与答卷分析
第Ⅰ卷选择题
12道小题总体立意简明,内涵丰富,基本涵盖知识的主干线。 注重基础,除第12题外,均为贴*课本的容易题或中等题,涉 及数学各分支常见的知识点,考生容易进入角色,有效地发挥 了“门坎效应”。第6题考查不等式解法,第(10)题考查定 积分求面积问题,这两个试题新而不难;第10题考查灵活利用 定积分求函数曲线围成的*面区域面积问题,试题素材源于课 本,难度适中;第12题对空间想象能力的考查要求较高,突出 了对立体几何的模型思想、逆向思维和空间想象能力的考查, 体现了模型思想在研究解决几何问题中的思维价值,富有创意。 考生可以通过类比联想,构造长方体模型来求解。此题作为第 Ⅰ卷选择题中的较难题,难度定位恰当

第二题 填空题

重点考查掌握基础知识、基本技能的灵活程度及对数学本质认识 的水*,试题思路清晰,梯度合理,编排布局较科学.但从考生答 卷看出,此大题*均分只有5.91分,比去年的9.37分降低了3.46 分,得分率偏低。因运算能力差丢5分的人不在少数。 填空题包含4个小题(13—16),其中填空题第13~15题都属于 常规基础题。13题考查向量线性运算与模,14题考查双曲线的定 义与基本性质的运用,15题考查球内接六棱柱的体积计算,第16 题为开放性填空题,涉及的内容是统计茎叶图,开放度过大。

填空题的答卷抽样统计数据如下:

*均分

标准差

难度

区分度

5.91

5.10

0.39

0.17

答卷中反映出的各小题的具体情况如下:
第13题为空间向量题,给出两个三元向量a,b,以及,求的 数值。该题难度较低,大部分考生能正确答案,丢分的原因 多是忽略了这个条件,把-2也当作结果列出; 第14题为解析几何问题。求由一个已知的双曲线右顶点, 右焦点以及渐*线与双曲线的焦点所围三角形面积。此题得 分率较第13题低,考生答错的情况较多,没有明显一致的 错误类型,零分率也较高。究其原因应是计算出错或是对双 曲线的定义与基本性质没有掌握好; 第15题是立体几何题。已知某六棱柱的侧棱垂直底面,且 其体积和底面周长已知,求其外接球体的体积。此题的*均 得分亦比较低,绝大多数答错的考生均在计算球体半径时出 错。有的仅仅把球体的体积计算公式列出来。第14和15两 个题中还有一种现象,即部分考生将结果用小数表示,而精 度又不统一;

第16题是一个统计题。题目分别给出甲乙两个品种棉花的一个样本及其茎叶图。 要求通过茎叶图,在对甲乙进行对比后,给出两个统*崧邸4颂饪判郧浚 自由度大,但是区分度不够好。考生几乎都有答题,而且许多考生仿佛将其当 作是一个看图作文来解答,作答情况千奇百怪。考生丢分主要原因是不能正确 读图,不能正确区分样本与总体及其随机变量的数字特征,不能正确理解数字 特征的内涵,不能正确审题。
总的看来,填空题中代数题得分较高,而几何题得分较低。反映出学生的几何 思维和计算能力相对较弱。最为特别是统计题。这原本是一个很好的题目,但 是由于其考查的能力与传统数学能力不同,更侧重于一种综合分析能力,以至 于出现部分考生前三题得零分,而第4题却得到满分的现象。此外,虽然许多考 生在回答统计题时都能给出接*合理的结论,但是却明显可以看出对统计概念 理解不透彻,对统计术语的使用极其不规范,文字驾驭能力很差。但更主要的 原因应该在于中学数学教育中对统*萄毡椴恢厥印 解答第16题时,可根据茎叶图可定性或定量得到统计量的数字特征.定性得到 中位数比较容易,但得到标准差和均值在计算上有一定的困难,可以进行定性 的描述. 第16题属于答案开放性试题,但开放过度!除中位数在教材上由茎叶图体现外, 其它的统计的数字特征很少用茎叶图体现,再者定性描述历来不是数学命题的 风格,也很难科学地、严谨地给出答案(包括命题者),属于较难题.

第三题、解答题17—22题
17题 本题考查等差数列的通项公式、前项和公式以及方程思想、解方程 组的基本技能。 本题由已知条件和等差数列的通项公式,列方程组求解,可得,,不难 写出通项公式();由前项和公式和二次函数的性质或等差数列的单调 性,容易求出前项和的最大值.本题属于简单的基础题.题意清晰,难 度低,并且设置在解答题的第一个位置,布局合理。考生得分率较高, 但由于计算失误导致丢分或公式记错的考生也为数不少。因此,本题能 体现大众化,让不同思维层次的学生都有获得成功的机会。阅卷可见, 本题不仅触击率高,满分率也较高,区分度好。答卷抽样统计数据如下:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

17.77% 3.63% 3.1% 2.18% 3.01% 2.33% 7.48% 5.37% 4.35%

9 7.67%

10 14.77%

11

12

*均分 标准差

9.38% 18.59% 7.05

4.42

难度: 区分度

0.59

0.88

第18题
本题考查线面、线线成角的基本概念,同时考查了空间想象能力。用 公理化知识和空间向量知识都能很简捷解答本题,关键是算出点到三 个*面、和的距离关系,一旦这个问题解决了,其他问题就迎刃而解 了.特别用公理化知识解题,要联想到长方体模型的作用. 从阅卷来看用向量法解答的考生较多,这也反映出师生在高考备考过 程中对向量法解空间几何问题的重视程度,但对立体几何模型思想和 整体思想价值的本质性认识,教学仅停留在过份的模式化的训练层面, 对学生的创造性解题能力产生了不必要的负面影响。
本题如果用建立空间直角坐标系的方法来解决,虽不难得出除点P外 的其余各点的坐标,难点和关键是求点P的坐标。究其主要原因是,题 设只给出了1个条件(∠PDA=600),而不是3个(有2个条件是隐含 的),考生由于缺乏对知识横向联系的认识,无法挖掘出来。如果用 公理化的方法,虽不难找到DP与CC/所成的角及作出DP与*面 AA/D/D所成的角,但苦于关键的线段DP的长度求不出来,最终只能 望题兴叹!

第18题
其实,本题的入口虽然不是很宽,但还是比较直的。 首先,对于擅长用建立空间直角坐标系的方法来解立 体几何题的考生,设P(x,y,z),由点P在对角线 BD/上,可得x=y,再由∠PDA=600得出(也可以运 用和向量的知识和三点共线的知识求出x、y、z的 值),再代入线线角和线面角(易知*面AA/D/D的 法向量)公式,问题马上迎刃而解!其次,对于擅长 用公理化方法来解立体几何题的考生,只要按求角的 常规思路,把所求角放在三角形中(于是构造三角形 便成了首要任务),通过解三角形求出所求的角。

第18题
以下是考生使用公理化方法解决该题的一个典型案例: (1)连BD,作PE⊥BD于E,并作EF⊥AD于F,连PF ∴EF∥AB,PE∥DD/ 设EF=x=DF ∵∠PDA=600 , ∠APB=450 ∴PD=2x,DE=x ∴cos∠BDP=DE/PD=∴∠BDP=∠DPE=450 又∵PE∥DD/∥CC/ ∴PE∥CC/ ∴∠DPE是DP和CC/的夹角 即DP和CC/所成的角为450 (2)∵PE∥DD/ ∴DD/∥*面AA/D/D ∴EF是P到*面AA/D/D的距离 设DP与*面AA/D/D所成的角为∴sin=EF/DP=x/2x=1/2 ∴=300 ∴DP与*面AA/D/D所成的角为300

第18题

本题阅卷结果抽样统计数据如下:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

44.10 20.80% 14.78% 10.50% 4.34% 1.77% 0.86% 0.47% 0.34% %

9 0.35%

10 0.53%

11 0.49%

12

*均分 标准差

0.66% 1.41

2.00

难度 0.12

区分度 0.32

第18题
从以上结果看,*均分仅1.41分,较去年的4.63分下降了3.22分,零分率高达 44.10%,满分率仅0.66%。这道题对于海南的考生是超难的,甚至可以说是无 效的.但从该题的设计上看,不应该是这样的结果,这一结果与我们的期望值 相去甚远!造成这道题得分超低的主要原因有以下几个方面: ①.该题的设计门槛过高
从高达44.10%的零分率上看,*半数的考生面对这道题要么犹如蚍蜉撼大 树,要么只能望题兴叹,无从下手,门槛确实太高了!
②.考生得分意识不高,得分手段不强 在该题的评分标准中,建立空间直角坐标系、写出A、C、C/、D点的坐标、 设出点P的坐标并代入公式计算、写出线线角公式、线面角公式、使用公理化 方法找出线线角、作出线面角等等都是得分点。按理说,拿1至5分是容易做到 的,可考试结果令人遗憾,考生得分的欲望太弱了,根本就不想去攻城掠地, 竟然有44.10%的考生两手空空,毫无收获! ③.考生运算能力和应试能力低下 不少考生知道点P的横、纵坐标相等,使用夹角公式却怎么也算不出点P的确 切坐标,其实使用整体运算的方法消去x也是可以得出结果的(这就是整体思 想的价值所在!),可遗憾的是,多数考生在考场上却不会运用。

第19题(概率统计题)
本题综合考查离散变量的分布列、数学期望及方差,实际问题的函数 建模的知识,其中还涉及方差的线性变换问题,属于较灵活性试题, 能考查分析问题、解决问题和运算能力.该题是把必修中的统计与选 修的离散变量的概率分布相结合命题的新颖题型,富有创意却又没有 完全脱离原来的模式,第一问求方差,但要求方差又必须先求随机变 量的分布列和期望,这保留了原来的模式分布列——期望——方差, 使得考生感觉此题并不陌生。但由于有很多考生不理解利润率的概念, 所以本题入手较难;第二问是最值问题,*几年一直在考概率,没有 考函数类的应用问题,今年的这道题,注重了知识的横向联系,从新 的视角考查概率,把函数和概率有机结合,综合考查。由于本题运算 量较大,特别是第二问数值又特别小,所以只让求出x在为何值时函数 可以取得最小值,并不需要求出最小值,这样减少了一定的运算量, 又因为这个函数是二次函数,可以配方又可利用导数来解决问题,方 法比较灵活。

第19题(概率统计题)
考试结果抽样统计数据如下:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

42.59 14.83% 9.78% 4.44% 5.72% 6.64% 4.94% 3.56% 5.03% %

9 1.14%

10 0.43%

11 0.48%

12 0.42%

*均分 标准差 2.23 2.79

难度: 区分度
0.19 0.53

第19题(概率统计题)

考试结果表明:此题学生得分较低,全省*均分2.23分,有42.59%的学生得 零分,有25%得1分或2分,仅有1.4%的学生得10分以上。究其失分原因, 主要有以下几方面:
(1)不理解利润率这个概念,不能把利润率转化为利润,所以入手较难。

(2)本题运算量较大,如果把百万化为万元作单位,数据又特别大,若不转化, 在第二问中数据又特别小,考生运算能力差,在运算过程中容易出现小数 点错位。
(3)公式记不清楚,期望和方差概念分不清楚。又受试卷所给的标准差公式

? ? ? ? ? ? S ?

1? n ??

2
x1 ? x ?

2
x2 ? x ?

?

xn ? x

2? ??

的影响,三个概念更是分不清楚,还有同学误用二项分布公式D? ? np?1? p?

(4)数学语言不过关,字母较多,符号表示混乱,①和 ,②,③等分不清楚, 还有同学不用规定的字母表示,还有同学随意创造字母和符号,比如,五 花八门。

第20题

答卷抽样统计分析如下:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

40.10% 16.90% 22.24% 9.42% 1.14% 5.78% 1.37% 0.85% 0.48%

9 0.34%

10 0.62%

11 0.16%

12

*均分 标准差

0.62% 1.59

2.04

难度: 区分度

0.13

0.34

第20题

本题属于常见的*面向量与解析几何交汇的常规题型.考查直线、圆锥曲线

和向量的有关知识。试题以抛物线、椭圆的基础知识为切入点,结合*面

向量,考查了考生灵活运用基础知识解决数学问题的能力和简整理的运算

能力。

第(I)小题求椭圆的标准方程,也就是需确定正数a、b的值。可从抛物线定

义得出交点M的坐标,再代入椭圆方程求得a、b的一个关系式,又由可得

a、b的值。但由于这需要求解一个关于a,b的分式方程组,消元后是一个

关于a(或b)的4次方程,使不少考生望而却步,无法到达终点;如求得

点M后,用椭圆定义得2a的值,从而确定a,b,不失为最佳的解法。在求

点M的坐标时,一部分考生运用*几知识,使得求解过程简单而新颖,令

人耳目一新。

MN ? MF1 ? MF2

第(II)小题求直线的方程。首先需要认识向量式

的意义。

由直线确定的斜率,接着由直线方程与椭圆方程联立消元,…整个过程*

乎于程序化。以下是考生答卷中的解法典型案例:

(注:与标准答案相同的解法略)

第20题

c 第(I)问的解法要点:
由于M在 2上以及︱MF︱= 圆

5, 2

利用抛物线定义求M,用椭

定义求得 2a ? 4 ,?a ? 2 ,又 c ? 1?b ? 3 ,从而得到

x y 2

2

所求方程为 ? ? 1(这个解法优于标准答案)

43

c 方法二:在同上求得M后,因M在上,用待定系数法求a,b.得 1
的方程:x2 ? y 2 ? 1 43

第20题

方法三:在求点M坐标时,使用*面几何知识

由抛物线

y

2
=

4x

知(1,0),于是椭圆左

焦点 F1(-1,0),抛物线 准线:x ? ?1

x 设 M(

(取

y 1

y 1,

1),由勾股定理得:y12

?

(2 ?

5)2 3

?

(5)2 3

? y1 ? 2

>0)于是

x1

?

1 4

y2 1

?

2 3

,

又由椭圆焦点半径公式

6 3
a

?

1 a

2?5 33

c 得:a ? 2
于是 b2 ? a2 ? c2 ? 3 (c ?1)

? 方程为: x2 ? y2 ? 1

1

43

第20题

第(II)小题的解法要点:

由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形MF N F 2是*行四边形,其中心为原点O,因
l MN,由 l 与OM的斜率相等可求l 的斜率:kl ? 6

设 l : y ? 6x ?b



??3x2 ?

?

4y2

? 12

消去y并整理得

27x2 ? 8

6bx ? 4b2 ?12 ? 0

?? y ? 6x ? b

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 根据韦达定理,由条件 OA OB ? 0 (即 x1x2 ? y1 y2 ?
=0 )求得 b ? ?2 3 从而得l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 或 y ? 6x ? 2 3
(注:本解法中对直线方程式假设为“y ? 6x ? b “ 比标准答案中的 “y ? 6(x ? m) ”更具一般性 )

第20题

关于考生解题失误的分析
1)有些考生不会求抛物线的焦点,有些考生混淆椭圆、双曲线中a.b.c的关 系,反映了考生最基本知识的缺失。

?y2 ? 4x

?

2)有些考生想从

? x2 ?? a2

?

y2 b2

?1

中求得点M的坐标,再用 MF2

?5 3

求出a、

b,思路未尝不可,但由于运算量过大,大多半途而废。从另一角度看,这

些 考生不会从

MF2

?

5
3 入手求点M的坐标,反映了考生思维层次低,导致



能紧扣已知条件解题。

3)第2问有较大的运算量。即使思路完全正确,最终也只有极少数人求得正 确答案,考生的运算能力不容乐观。

4)第1问重点考查思维能力,第2问重点考查运算能力。本题难点设置过于 靠前,也是造成考生得分率偏低、零分率高的主要原因之一。

第21题
答卷统计分析如下:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

63.23% 20.43% 7.90% 4.53% 3.23% 0.24% 0.11% 0.14% 0.14%

9 0.03%

10 0.00%

11 0.02%

12

*均分 标准差

0.00% 0.67

1.14

难度: 区分度

0.06

0.19

第21题
本题主要考查函数解析式、导数、函数图象的对称性以及定值问题,考查 综合运用基础知识和数形结合的思想方法分析、探究问题、解决问题的能力。 属于较难的试题.从知识的综合性以及覆盖面来看是一道好题.第一问可以用复 合函数的导数或导数公式中的商式公式求解,同时兼顾切线问题,属于基础能 力要求;第二问考查函数的对称性证明并探讨对称中心,还可以用函数图象的 *移求解;第三问考查有*矫嫱夹蚊婊亩ㄖ滴侍猓夥ㄏ喽缘ヒ弧
从考生答卷情况看,本题得分率偏低(*均分0.67),难度偏大(难度为 0.12),区分度差。但本题是解答题最后一道题,作为压轴题,还是比较恰当 的。 考生失分主要原因有以下5种: 1)时间不够,零分率高达63.23%,部分同学列出方程,明显没时间解答; 2)导数公式不熟; 3)运算能力差,解方程中出现很低级的错误; 4)对对称性证明不熟悉,由于没有给出对称中心,考生对对称性的证明问题不
知从何下手; 5)第三问的证明,由于涉及含有字母的代数式运算,基本属于被放弃的对象。 本题第二问,如在问题设计上做一点修改,也许得分率会提高,建议改为先探索 对称中心,再证明,使试题具有一个合理坡度。

第(22~24)题(选做题)

三道选做题,题型较为常规,难度适中,但3道题难度不一致,不等式 题相对简单些。3题的得分率都高于必做题。
22~24题答卷抽样统计分析数据: 22题

0

1

2

3

4

5

6

7

8

12.31% 3.37% 5.09% 8.39% 16.99% 50.04% 0.57% 0.23% 0.55%

9 0.68 %

10 1.78%

*均分 3.90

标准差 2.00

难度: 0.39

区分度 0.43

第(22~24)题(选做题)
23题

0

1

2

3

4

5

6

7

8

38.00% 5.93% 7.20% 8.87% 17.25% 2.47% 4.00% 2.51% 5.66%

9 2.89 %

10 5.24%

*均分 2.93

标准差 3.13

难度: 0.29

区分度 0.72

第(22~24)题(选做题)
24题

0

1

2

3

4

5

6

7

8

22.04% 14.49% 7.87% 6.12% 4.47% 4.40% 3.62% 3.27% 8.05%

9 4.92 %

10

*均分

20.75% 4.49

标准差 2.00

难度: 0.45

区分度 0.95

第(22~24)题(选做题)
选做题22题,考查圆的切线性质和直角三角形的射影定理,由于 图中的线段较多,干扰信息较多,属于中档偏难的题.它有两个 非常明显的特点:第一,起点并不很高,在能正确审题的前提下, 解决第一问是容易的.基于考查能力、拉大区分度的需要,第二问 对思维能力要求比第一问明显高一个层次。本题的难度和去年相 比较是大体持*(第二问难度略有提升),第一问考查直角三角 形中的基本性质定理,属于容易题,第2个问题是证明角为定值 (特殊角),表面看来,要用计算法证明,其实不然,是通过证明三 角形相似得到对应角相等完成证明的。此问大多数考生无从下手, 得分率较低。 评价过程发现,有60.02%考生选做第22题。究其原因,主要有以下 几方面:①此题所属的位置是编排在所有选做题首位;②受原有初 中知识基础影响,大多数考生对*面几何并不感到陌生.③因为第 一个问较为容易下手。

第(22~24)题(选做题)

考生失分的主要原因:考生在做第一问的时候,很多人都是通过证明

相似三角形得到结论的,但条件列举不充分.其实,如果熟悉射影定

理的话,只需要寻求符合射影定理要求的条件,即可得到证明.其次,

很多考生都犯了同一个错误,即“会而不全”,就是懂做也拿不了满

分.很多

OA ? AM

考生在没有列出已知条件的情况就得出

, 或是没有指出在

Rt?OAM

中,就由射影定理得出结论。这些也是失分的重要原因.

第(22~24)题(选做题)
第23题
本题综合考查参数方程与普通方程的互化、坐标的压缩变换、直线与圆 锥曲线(包括圆)的位置关系的判定,数形结合思想的考查,属于中档 偏难的题,区分度较好. 学生的解答情况一般,除评分标准所给的答案外,多数考生的解答方法 是将参数方程为普通方程,再利用普通方程联立方程组,消元得一元二 次方程,用判别式判定曲线公共点个数,也有的利用点到直线距离判定 曲线公共点个数。 第2问求压缩后的参数方程,多数考生的解法与标准答案一致,对于压 缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点的论证,多数考生沿用第一问的 解法。除上述解法外,一部分同学在求压缩后的参数方程时,先求将曲 线压缩后的普通方程,再将普通方程化为参数方程,由椭圆的普通方程 化为参数方程形式上比较单一,然而由直线的普通方程求参数方程时, 形式上就多样化了,这就给教师评卷带来一定的困难。还有一部分同学 在求两曲线公共点时,没有将两参数方程均化为普通方程,而是将其中 一参数方程化为普通方程,将第二个参数方程与普通方程联立求解,通 过确定参数的解的个数来确定两曲线的公共点的个数。

第(22~24)题(选做题)
第23题

考生对曲线的伸缩变换的知识掌握不好,其典型错误的案例为:

c (2)压缩后的参数方程为

?x ? cos?

? ?

y

?

2

sin ?

压缩后

的参数方程为
2

?

?x ?

?

? ?

y

?

2t? 2 2t

2

还有一部分考生在作答时将曲线上各点的横、纵坐标均压缩为原来的一

半,没有认真的理解题意。再者,学生的运算能力太差,表现在:

1)直线方程与圆、椭圆方程联立消元后方程式出错; 2)方程式正确判别式计算出错; 3)判别式公式出错; 4)判别式△=0,两曲线无交点或两交点;

第(22~24)题(选做题)
第23题
评卷过程中,我们在感叹学生计算能力太差的同时,对学生最基本 的数学知识的缺乏也威到遗憾。 对于本题的两小题,求两曲线的交点时,均可用判别式△来判定, 虽然本题的立意不是如此(用圆心到直线的距离判定圆与直线的关 系;用判别式△来判定椭圆与直线的关系,但大部分同学均用判别 式进行判定,那么在本题中对同一个知识点考查出现了两次,学生 如果用判别式△解第(1)小题,第(2)小题根本就不需思考就迎 刃而解了,试题这样设计似乎有些不妥。 本题的曲线的伸缩变换,在*时的高考复*中,师生普遍都不太重 视,这也是造成考生在此题失分的重要原因。

第(22~24)题(选做题)
第24题
本题考查把含绝对值的函数化成分段函数,研究其图象以及运用图象 法求解含绝对值的不等式,同时还考查了分类讨论与数形结合的数学思 想,并且在解题的过程中又考查了集合的运算. 属于容易题,区分度 好.但是第二问的解法较多,又提高了题目的灵活性。本题充分利用教 材中的例题为素材(P17例5),考生没有陌生感,是选作题中得分率最高的 一道题,本题*均分为4.49分,难度系数为0.45,也是第二卷中难度较 小的解答题。

第(22~24)题(选做题)
第24题
考生答卷中主要存在以下几种错误 1.分类目标不明确,造成盲目分类:
如分成 x ? 0, x ? 0, 0 ? x ? 4, x ? 4, 4 ? x ? 8 , x ? 8, x ? 8 ,甚至不粘边际,五花
八门; 2.计算粗心:
有些考生已经分类对了,结果去括号时出错,例如,x ? 4 时 ,
f (x) ? ?(x ?8) ? (x ? 4) ? ?12 等等.
3.作图能力差: 有些考生已经通过分类讨论,求出了分段函数,但是没能准确地画出其图象,
如当 4 ? x ? 8 时, f (x) ? ?(x ?8) ?(x ? 4) ? ?2x ?12 结果很多考生画出了 f (x) ? 2x ?12
的图象

对试卷的几点商榷
1、注意了对新教材新增的内容考查,但对新教材增加的 合情推理等的思想方法考查的不够。
2、立体几何解答题的难度过大,应降低到去年的水*, 并以适当减少全卷的总体运算量的方式把试卷难度降 低到基本符合海南考生实际的水*。
3、解答题的设置,应适当降低门槛,第一问要让多数考 生能下手,并能获得相应的分数。
4、开放题的开放度不宜过大,否则会导致考生的答案花 样百出,不同的评卷教师的评判容易出现差异,影响 考试的信度。

对备考与教学的建议
从阅卷过程以及抽样统计数据看来成绩不尽人意,考生得分率之低,零分率之高,令人惊讶。 它淋漓尽致地折射了海南省基础教育之薄弱的现实。 根据今年数学高考命题的导向以及阅卷反馈的信息,建议在中学数学教学中应关注以下几个 问题:
1、数学教学必须真正以课标、课本为本,创造性地使用教材,注意教学内容的有效整合, 落实基础,重视通性通法,以构建较为完善的知识体系;备考教学要充分关注学生原有的认 知水*和高考考试大纲及其说明,对不同层次的学生进行分类指导,尽可能做到教学定位准 确,提高教学效率。
2、强化“过程教学”,在教学各个环节中都要善于发挥数学思想方法的渗透功能,创设 思维契机,充分展示学生的思维过程与思维轨迹,指导学生进行“解题反思”。
3、更新教育理念,引导学生主动学*。改变传统教学方法中老师照本宣科学生机械接受 的旧模式,为学生营造自主探究与合作交流的氛围,正确处理自主性学*和有意义的接受性 学*的关系。
4、关注新课程改革动向,理智探究新课标下《数学高考考试大纲》,教学设计与教材处 理须实事求是,要重视《必修》模块的教学。
5、数学教学应注意“心理教育”,把培养学*兴趣落到实处,防止厌学情绪的蔓延。 6.指导学生寻求合理、简洁的解题途经,要力争“保准求快”,对解答题要规范做答, 努力作到“会而对,对而全”,减少无谓失分 ,指导学生总结临场应考的审题与答题方法技 巧,总结考试心理调节的做法与经验,力求找到合适自己的心理调节方式和临场审题、答题 的具体方法策略,提高应试能力。

解答与评析

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