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西工大线性代数第二章ppt3

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§2.3 逆矩阵
一、概念的引入
数字乘法逆运算 问题 已知数字 a 与 c,求 x 使得 ax = c , 引出数字乘法的逆运算--除法 引出数字乘法的逆运算--除法 -- 1 解 当a≠0时, a ?才有意义。 a≠0时 才有意义。 左乘方程两边, 用 a 左乘方程两边,得 a (ax) = a c 而 a ?1a = 1 , ∴ x = a ?1c 所以,除法运算可归结为: 所以,除法运算可归结为:数a是否有逆元素 a ?1 是否有逆元素 即是否有数b,使得ab = ba =1 即是否有数 ,使得 与数字乘法逆运算类似,我们可给出矩阵乘法的逆运算。 与数字乘法逆运算类似,我们可给出矩阵乘法的逆运算。
?1

?1

?1

二、逆矩阵的定义和唯一性
定义2.10 定义 对于 n 阶方阵 A ,如果有一个 n 阶方阵
AB = BA = E ,
?1 E? = E 显然有

B ,使得

可逆的 逆矩阵. 则说方阵 A 是可逆的,并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵 A的逆矩阵记做 A?1 的逆矩阵记做

1 注意: 注意:逆矩阵千万不要写成 A ? 例1 设 A = ? 1 ? 1 ? , B = ? 1 2 1 2 ? , ? ? ? ?1 1 ? ? ? 1 2 1 2?
Q AB = BA = E ,
∴ B是A的一个逆矩阵 .

定理2.1 若n阶方阵 可逆,则A的逆矩阵唯一。 定理 阶方阵A可逆 的逆矩阵唯一。 阶方阵 可逆, 的逆矩阵唯一 证明 设方阵 、C都是 的逆矩阵,则有 设方阵B 都是A的逆矩阵 都是 的逆矩阵, AB = BA = E AC = CA = E 因此 B = BE = B ( AC ) = ( BA)C = EC = C 所以矩阵A的逆矩阵唯一。 所以矩阵 的逆矩阵唯一。 的逆矩阵唯一 逆矩阵求法一--待定系数法 逆矩阵求法一--待定系数法 --

? 2 例2 设 A = ? ??1 ?a 解 设 B=? ?c

1? ? , 求A的逆矩阵。 的逆矩阵。 的逆矩阵 0?
b? ? 是 A 的逆矩阵 的逆矩阵, d?

则有

? 2 1 ?? a b ? ? 1 0 ? AB = ? ?=? ? ?? ? ? 1 0 ?? c d ? ? 0 1 ?

? 2a + c 2b + d ? ? 1 0 ? ?? ?=? ? ? b ? ? 0 1? ? ?a ? 2a + c = 1, ? a = 0, ? 2b + d = 0, ?b = ?1, ? ? ?? ?? ? ? a = 0, ? c = 1, ? ? b = 1, ? d = 2. ? ? 又因为 B AB A

? 2 1??0 ?1? ?0 ?1?? 2 1? ? 1 0 ? ?, ? ?? ?= ? ?? ? =? ??1 0??1 2 ? ?1 2 ???1 0? ? 0 1 ?

所以

? 0 ? 1? A =? ?. ?1 2 ?
?1

注意:这种求法虽然思路简单,但计算量太大, 注意:这种求法虽然思路简单,但计算量太大, 比如要求一个三阶矩阵的逆阵, 比如要求一个三阶矩阵的逆阵,就要求解 一个九个未知数的方程组,所以*时不用 一个九个未知数的方程组,所以*时不用 它来求逆阵。 它来求逆阵。

三、矩阵可逆的判别定理及其求法
定理2.2 定理 矩阵 A 可逆的充要条件是 det A ≠ 0 . 证明 (必要性) 已知 可逆,则有矩阵 A ?1 使得 可逆, 必要性) 已知A可逆

AA ?1 = E

两边取行列式, 两边取行列式,有

det( AA ?1 ) = (det A)(det A?1 ) = det E = 1
所以 (充分性) 充分性) 得

det A ≠ 0
当 det A ≠ 0 时,由式 AA* = A* A = (det A) E 1 1 * A( A )=( A* ) A = E det A det A
?1

所以矩阵A可逆, 所以矩阵 可逆,且 可逆

推论1 推论1

1 * A = A det A 方阵 A 不可逆 ? det A = 0

证毕

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当 det A = 0 时,称A为奇异矩阵; 为奇异矩阵; 当 det A ≠ 0 时,称A为非奇异矩阵; 为非奇异矩阵; 所以矩阵A可逆的充要条件是 为非奇异矩阵 可逆的充要条件 为非奇异矩阵; 所以矩阵 可逆的充要条件是A为非奇异矩阵; 矩阵A不可逆的充要条件 充要条件是 为奇异矩阵 为奇异矩阵. 矩阵 不可逆的充要条件是A为奇异矩阵. 推论2 判断逆矩阵的简单方法 推论 为同阶方阵, 则方阵A,B 设A,B为同阶方阵,若 AB = E,则方阵 为同阶方阵 都可逆,且 A ?1 = B, B ?1 = A . 都可逆, 证明 因为 AB = E ,所以
(det A )(det B ) = det E = 1

可逆, 所以 det A ≠ 0 ,所以 A 可逆,记其逆阵为 A ? 1,则有

B = EB = ( A ? 1 A ) B = A ?1 ( AB ) = A ?1 E = A ? 1

同理可证

B ?1 = A

注意:以后判断 是否为 的逆矩阵, 是否为A的逆矩阵 注意:以后判断B是否为 的逆矩阵,只需验证 AB = E 和 BA = E 中的一式即可。 中的一式即可。 逆矩阵求法二--伴随矩阵法 逆矩阵求法二--伴随矩阵法 -- 由定理2.2的证明知 由定理 的证明知

1 A = A* det A 的伴随矩阵。 其中 A*为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵 ?a b? 特别地, 特别地,对于二阶方阵 A = ? ?c d ? ? ? ?
?1

当 det A = ad ? bc ≠ 0 时,有
1 1 ? d ? b? * ? A = A = ??c a ? ? det A ad ? bc ? ?
?1

?2 A=? ? ?1 ? ?1 ? 例3 设 A = ? 4 ?3 ? 求其逆阵。 求其逆阵。

例如

则 1? ? 0 ? 1? ?1 ? A =? ?1 2 ? ? ? 0? ? ? 2 3? ? 5 8 ? ,判断A是否可逆.若可逆, 是否可逆. 判断 是否可逆 若可逆, 4 6? ?



因为

1 2 3 det A = 4 5 8 = 1 ≠ 0 3 4 6

所以矩阵A可逆. 所以矩阵 可逆.又因为 可逆
A11 = (?1)
1+1

5 8

4 6 5 1+ 3 4 A13 = (?1) =1 3 4
2+ 2

= ?2

A12 = (?1) A21 = (?1)

1+ 2

4 8

3 6 3 2 +1 2 4 6
2+3

=0 =0

A22 = (?1)

1 3 3 6

= ?3

A23 = (?1)

1 2 =2 3 4

2 3 3 3+ 2 1 A31 = (?1) =1 A32 = (?1) =4 5 8 4 8 2 3+ 3 1 A33 = ( ?1) = ?3 注 4 5 意 1 ? ?? 2 0 所以 ? ? 验 1 ?1 * A = A = ? 0 ?3 4 ? 证 det A ? 1 2 ? 3? ? ? 用伴随矩阵法求逆阵非常容易出错 一般不提倡。 非常容易出错, 用伴随矩阵法求逆阵非常容易出错,一般不提倡。
3+1

四、运算规律
A 证
A?1

? A ?1

( A ?1 ) ?1 = A

B A ?1 ?1 A B= A A= E

1 ?1 可逆, 可逆, ⒉ A可逆, ≠ 0 ? kA 可逆,且(kA) = A 。 可逆 k k A ?1 证 对 kA ,取 B = ,则有 k 1 ?1 (kA) B = (kA)( A ) = E k 可逆, ⒊ 同阶方阵 An , Bn均可逆 ? AB 可逆,且
?1

( AB ) ?1 = B ?1 A?1



对 AB,取 C = B ?1 A?1,则有

( AB )( B ?1 A ?1 ) = A ( BB ?1 ) A ?1
? = AA 1 = E, = AEA
?1

( AB )?1 = B ?1 A?1 . ∴

推广

(A A2 LA) = AL A A . 1
?1 m ?1 m ?1 2

?1 1

可逆, ⒋ A可逆 ? AT 可逆,且 ( AT ) ?1 = ( A?1 ) T 。 可逆 证 A可逆 ? det A ≠ 0 ? det( AT ) ≠ 0 ? AT可逆 可逆 对 AT,取 B = ( A?1 ) T,则有
AT B = AT ( A?1 ) T = ( A?1 A) T = E



( AT ) ?1 = ( A?1 ) T
?1 ?1

⒌ A可逆 ? det( A ) = (det A) 可逆 证 因为 可逆,所以有 因为A可逆, 可逆 AA?1 = E

两边取行列式, 两边取行列式,有 (det A)(det A?1 ) = det E = 1 1 ?1 ∴ det A = det A 1 ?1 注意: 可逆, 注意: 可逆,且 k ≠ 0 ? det(kA) = det A?1 (×) A可逆 k ?1 ?n ?1 k ≠ 0 ? det(kA) = k det A (√) A可逆,且 可逆, 可逆 A * * ?1 6. A可逆 ? A 也可逆,且 ( A ) = 可逆 也可逆, det A 证 “?” 可逆, 设A可逆,则 det A ≠ 0 ,由恒等式 可逆 A * ) A* = E AA = (det A) E 得 ( det A A * ?1 * 也可逆, 所以 A 也可逆,且 ( A ) = det A

“?” (反证法)已知 反证法)

因此

可逆, 不可逆, A* 可逆,假设 A 不可逆,则 det A = 0

AA* = (det A) E = O A = O( A ) = O
* ?1

可逆, 因为A*可逆,所以上式两端同时右乘 ( A* ) ?1,得 可逆矛盾, 可逆。 所以 A* = O ,与 A* 可逆矛盾,所以 A 可逆。

? ( A* ) ?1 = ( A ?1 )* 7.A可逆 7. 可逆 证 在恒等式 AA* = (det A) E 中,把A用 A ?1代替,有 代替, 用
所以

( A?1 )( A ?1 )* = (det A ?1 ) E A ?1 * (A ) = det A

再由性质6的证明知, 再由性质6的证明知,
A (A ) = det A
* ?1

所以有 ( A* ) ?1 = ( A ?1 )* 无论A是否可逆 是否可逆, 8. 无论 是否可逆,恒有 det A* = (det A) n ?1 证 AA* = (det A) E 两边取 可逆时, 当A可逆时,对恒等式 可逆时 行列式, 行列式,有 (det A)(det A* ) = (det A) n 因为A可逆, 因为 可逆,所以 det A ≠ 0 ,所以有 可逆 (det A* ) = (det A) n ?1

不可逆时, 当A不可逆时,由性质6的证明知 A* = O ,所以 不可逆时 由性质6 det A* = det A = O * n ?1 所以有 det A = (det A) 9. A可逆 ? ( A* )* = (det A) n ? 2 A (n ≥ 2) 可逆 证 在恒等式 AA* = (det A) E 中,把A用 A* 代替,有 代替, 用

A ( A ) = (det A ) E = (det A)
* * * *

n ?1

E

两端左乘 ( A* ) ?1,得

( A ) = (det A)
* *

n ?1

= (det A) n ? 2 A (A )
* ?1

10. 同阶方阵 An , Bn 均可逆 ? ( AB )* = B * A* 证 由 A* = (det A) A?1 得

( AB )* = [det( AB )]( AB ) ?1 = [(det A)(det B )]( B ?1 A?1 )

= [(det B ) B ?1 ][(det A) A?1 ]
= B * A*

11. 负幂 A可逆,定义 可逆, 可逆 A0 = AA ?1 = E A? k = ( A?1 ) k (k = 1,2, L) 则关于方阵的幂的结论, 则关于方阵的幂的结论,可以扩展到 A k ? Al = A k +l (k , l ∈ Z ) ( A k ) l = A kl

设方阵A满足 证明A及 例4 设方阵 满足 A3 ? A2 + 2 A ? E = O ,证明 及 E-A均可逆,并求 A?1 和 ( E ? A) ?1 。 均可逆, 均可逆 证明 由 A3 ? A 2 + 2 A ? E = O 得 A( A2 ? A + 2 E ) = E
A?1 = A2 ? A + 2 E

由定理2.2的推论知 可逆 由定理 的推论知A可逆,且 的推论知 可逆, 同理 由 A3 ? A 2 + 2 A ? E = O 得
( E ? A)( A2 + 2 E ) = E

由定理2.2的推论知 - 可逆 可逆, 由定理 的推论知E-A可逆,且 的推论知
( E ? A) ?1 = A2 + 2 E

练*(2001数一,3分) 练*(2001数一, 数一
A2 + A ? 4 E = O ,则 ( A ? E ) ?1 = 设矩阵A满足 设矩阵 满足

例5 证明

已知3阶矩阵 的行列式 已知 阶矩阵A的行列式 det A = 2,则 阶矩阵 (2001.5,一、2) 2001.5,

det( A?1 ? 2 A* ) =

由 AA* = (det A) E ,得 A* = (det A) A?1 ,所以 A* = 2 A?1,所以
det( A?1 ? 2 A* ) = det( A?1 ? 4 A?1 ) = det(?3 A?1 ) 27 3 ?1 = (?3) (det A) = ? 2 练* 已知三阶方阵满足 2 A?1 = A* 则 det[(2 A)* ] = , AA* = (det A) E ? (2 A)(2 A)* = det(2 A) E

(2000.5,一、1) 2000.5,

五、逆矩阵的应用 1.n阶线性方程组的求解 . 阶线性方程组的求解 对于n个方程 个方程n个未知数的线性方程组 对于 个方程 个未知数的线性方程组 Ax = b , 若 det A ≠ 0,则有 x = A?1b T b 其中 A = (aij )n×n , = (b1 b2 L bn ) .
? A11 A21 L An1 ?? b1 ? 分析 ? x1 ? ? ?? ? ? ? 1 ? A12 A22 L An 2 ?? b2 ? ? x2 ? ?1 ? M ? = x = A b = det A ? M M M ?? M ? ? ?? ? ? ? ?A ?x ? A2 n L Ann ?? bn ? ? 1n ?? ? ? n? 1 所以 x j = ( A1 j b1 + A2 j b2 + L + Anj bn ) det A

1 D( j) xj = ( A1 j b1 + A2 j b2 + L + Anj bn ) = det A D

D( j) =

a11 L a1, j ?1 b1 a21 L a2, j ?1 b2 M M M an1 L an , j ?1 bn

a1, j +1 L a1n a2, j +1 L a2 n M an , j +1 M L ann

克莱姆法则

例6

利用逆矩阵求解线性方程组 ? 3x1 + 2 x2 ? x3 = 4 ? ? x1 ? x2 + 2 x3 = 5 ?? 2 x + x ? x = ?3 1 2 3 ? 令
2 ? 1? ? 3 ? x1 ? ? ? ? ? A = ? 1 ? 1 2 ? x = ? x2 ? ? ? 2 1 ? 1? ?x ? ? ? ? 3? ? 4 ? ? ? b=? 5 ? ? ? 3? ? ?



所以有 Ax = b , 又因为 det A = ?8 ≠ 0,所以 x = A ?1b

? 1 ?1 ? 3? ? 1? ?1 可求得 A = ? 3 5 7 ? 8? 1 7 5 ? ? ? 所以 ? 1 ? 1 ? 3 ?? 4 ? ? 1 ? ?? ? ? ? 1? ?1 x = A b = ?3 5 7 ?? 5 ? = ? 2 ? 8? 1 7 5 ?? ? 3 ? ? 3 ? ? ?? ? ? ?

2.求线性变换的逆变换 . 对于线性变换 x = Ay ,若 det A ≠ 0 ,则有 y = A?1 x 这是x到 的线性变换 的线性变换. 这是 到y的线性变换 3. 矩阵方程求解 阶方阵A和 阶方阵 都可逆, 阶方阵B都可逆 已知, 设m阶方阵 和n阶方阵 都可逆,矩阵 C m×n 已知, 阶方阵 则有

XB = C ? X = CB ?1 AX = C ? X = A?1C AXB = C ? XB = A?1C ? X = A?1CB ?1

注意:1.矩阵相乘的次序不能变; 注意:1.矩阵相乘的次序不能变; 矩阵相乘的次序不能变 2.若给定的方程与上面三种形式都不同时, 2.若给定的方程与上面三种形式都不同时,多 若给定的方程与上面三种形式都不同时 数可经过恒等变形化为其中的一种. 数可经过恒等变形化为其中的一种. ?1 0 1? 例7 ? ? 设A = ? 0 2 0 ?,且 X = AX ? A 2 + E ,求 X ?1 0 1? ? ? 解 将所给方程变形,得 将所给方程变形, ( A ? E ) X = A2 ? E 又因为 AE = EA ,所以 ( A ? E ) X = ( A ? E )( A + E )

?0 0 1? ? ? 因为 A ? E = ? 0 1 0 ? ?1 0 0? ? ?

可逆。 所以 A ? E 可逆。

所以

?2 0 1? ? ? ?1 X = ( A ? E ) ( A ? E )( A + E ) = A + E = ? 0 3 0 ? ? 1 0 2? ? ?

? 2 0 2? ? ? * 例8 设A的伴随矩阵 A = ? 2 2 0 ? ,且 ABA?1 = 2 BA?1 + 3E 的伴随矩阵 ? 0 2 2? ? ?

求矩阵B(2000.5) 求矩阵 分析 把原矩阵方程变形,得到 把原矩阵方程变形,
( A ? 2 E ) BA ?1 = 3E

( A ? 2 E ) ?1右乘 A ,得 等式两边同时左乘
B = 3( A ? 2 E ) ?1 A

A* 和式 由已知 A*,及式 A?1 = det A* = (det A) n ?1 很 det A 的时候要进行一次逆运算, 容易求出 A?1 ,但是求 A 的时候要进行一次逆运算, 的时候还要进行一次逆运算,很麻烦。 求 ( A ? 2 E ) ?1 的时候还要进行一次逆运算,很麻烦。



由已知式变形得到
B = 3( A ? 2 E ) ?1 A B = 3[ A?1 ( A ? 2 E )]?1
= 3( E ? 2 A ?1 ) ?1

所以有

? 2 0 2? ? ? * 由 A = ? 2 2 0 ? 知, ? 0 2 2? ? ? det A* = 16

因为A是三阶方阵, 因为 是三阶方阵,且由式 det A* = (det A) n?1 得 是三阶方阵
det A* = (det A) 2 = 16

所以

det A = ±4

A* A* ?1 = det A = 4时, A = 当 det A 4

所以

1 * ?1 B = 3( E ? 2 A ) = 3( E ? A ) 2
?1 ?1

? 0 ?3 0 ? ? 0 0 ? 1? ? ? ? 1 * ?1 ? 0 ? 3? B = 3( E ? A ) = 3? ? 1 0 0 ? = ? 0 2 ??3 0 ? 0 ?1 0 ? 0 ? ? ? ? ? A* A* =? 当 det A = ?4 时, A?1 = det A 4 1 * ?1 ?1 ?1 所以 B = 3( E ? 2 A ) = 3( E + A ) 2

?1

1 ? 2? ? 4 ?2 0 1? ? ? ? 1? 1 ? = 3? 1 2 0 ? = ? ? 2 4 3? ? 0 1 2? 1 ?2 4 ? ? ? ? ?

?1



(2003数三 4分) 数三 分

设n维向量α = (x 0 L 0 x )T , < 0 ,E为n阶单位 维向量 为 阶单位 x
1 A = E ? αα T B = E + αα T 其中 的逆矩阵 阵,矩阵 , ,其中A的逆矩阵 x

为B,则x= , =




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